О двух школьных задачах и единстве математики

О двух школьных задачах и единстве математики

С.В.Дворянинов

“Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой. И по сей день я воспринимаю различные разделы математики вместе с математической физикой как единое целое”. - Эти слова сказаны академиком И.М.Гельфандом в его интервью, опубликованном в № 1 журнала “Квант” за 1989 год и повторены в статье В.М.Тихомирова в № 1 журнала “Квант” за 2004 год на с.2.

Мы не будем объяснять, что значат слова об алгебраическом представлении синуса в виде ряда, но саму идею единства математики продемонстрируем на простом примере из школьного учебника “Геометрия 7-9”, подготовленным под научным руководством академика А.Н.Тихонова, - этот учебник в народе по имени первого автора называют геометрия Атанасяна. Здесь в главе “Подобные треугольники” на с.155 имеется такая задача

612. Два шеста АВ и CD разной длины установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и C соединены веревками, которые пересекаются в точке O. По данным рисунка докажите, что:

а) $\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d}=\frac{x}{a}$ ; б) $\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$ .

Найдите $x$ и докажите, что $x$ не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.

Задача эта не очень сложная, вы наверняка её решите и докажете все, что требуется. Заметим только, что 1) два шеста могут быть и равной длины, – это неважно, 2) независимость величины следует, очевидно, из равенства б), из которого находим

$x=\frac{ab}{a+b} \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

- а вот это важно, и потребуется нам в дальнейшем.

Теперь – об одной алгебраической (или арифметической) задаче. В журнале “Квант” № 7 за 1990 год опубликовано интервью с академиком В.И.Арнольдом. Вот строки из этого интервью:

“Первое математическое потрясение – когда появился настоящий учитель математики, Иван Васильевич Морозкин. Я помню задачу о двух старушках, вышедших одновременно навстречу друг другу, встретившихся в полдень и достигших чужого города – одна в 4 часа пополудни, а другая – в 9. Требовалось узнать, когда они вышли. Алгебру тогда не учили. Придумав “арифметическое” решение (основанное на соображениях размерности или подобия), я впервые испытал ту радость открытия, стремление к которой и сделало меня математиком.”

Решить эту задачу можно так. Пусть $V$ и $v$ - скорости старушек, $x$ - время, в течение которого они шли навстречу друг другу. По условию задачи составим два уравнения

$\frac{vx}{V}=4, \qquad \frac{Vx}{v}=9$

Перемножив эти два уравнения, получим $x^2 = 36$ и найдем $x = 6$ . Следовательно, старушки отправились в путь в 6 часов утра.

А теперь для решения этой задачи применим графики.

Два наклонных отрезка здесь описывают равномерное движение старушек навстречу друг другу. Точки двух отрезков имеют координаты $(t,S(t))$ , здесь $t$ - время, $S(t)$ - расстояние от старушки до одного из двух городов, $x$ – время от начала движения до встречи.

Посмотрите внимательно на последний рисунок. Фактически – это рис.210, только повернутый на 90° по часовой стрелке. Здесь $a=x+9$ , $b=x+4$ . Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

$x=\frac{(x+9)(x+4)}{(x+9)+(x+4)}$

Последнее уравнение является квадратным, оно приводится к виду $x^2 = 36$ , откуда как и раньше получаем $x = 6$ .

Стало быть, решая алгебраическую задачу на движение, мы можем использовать для анализа графиков геометрические соображения подобия. Алгебра и геометрия предстают здесь двумя гранями единой математики.